数学学習の記録 275 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第14章(無限の世界への一歩-数列の極限、無限級数)の14.3(無限級数)、循環小数の問32

2010年8月22日日曜日

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第14章(無限の世界への一歩-数列の極限、無限級数)の14.3(無限級数)、循環小数の問32を解いてみる。

問32

(1)

$0.\dot{a}=\frac{a}{9},\ 0.0\dot{b}=\frac{b}{90},\ 0.00\dot{c}=\frac{c}{900}$

となる。また、これはこの順に等比数列になっているので、

$\frac{\frac{b}{90}}{\frac{a}{9}}=\frac{\frac{c}{900}}{\frac{b}{90}}$

$\frac{b^{2}}{90^{2}}=\frac{ac}{9\cdot900}$

$b^{2}=ac$

また、

1<a<b<c<9

なので、これを満たす整数の組み合わせを考えると、求めるa, b, cの値はそれぞれ

a=2, b=4, c=8

(2)

問題の等比数列の公比は

$\frac{\frac{b}{90}}{\frac{a}{9}}=\frac{4\cdot9}{2\cdot 90}=\frac{1}{5}$

よって求める等比数列の第4項は

$\frac{c}{900}\cdot\frac{1}{5}=\frac{8}{900}\cdot\frac{1}{5}$

これを循環小数で表すと、

$\frac{16}{9000}=\frac{17-1}{9000}=0.001\dot{7}$