数学学習の記録 273 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第14章(無限の世界への一歩-数列の極限、無限級数)の14.3(無限級数)、無限等比級数の問27, 28, 29

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第14章(無限の世界への一歩-数列の極限、無限級数)の14.3(無限級数)、無限等比級数の問27, 28, 29を解いてみる。

問27

10分考えても分からなかったので再度挑戦。

問28

与えられた漸化式のの両辺から

$a_{n+1}$

を引くと、

$a_{n+1}-a_{n}=-\frac{2}{3}(a_{n+1}-a_{n})$

よって、問題の数列の階差数列は

$b_{n+1}=-\frac{2}{3}b_{n}$

すなわち公比-2/3の等比数列となる。初項は

$b_{1}=a_{2}-a_{1}=1-0=1$

よって、階差数列の一般項は

$b_{n}=\left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1}$

となるので、

$a_{n}=a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}{b_{k}}=\sum_{k=1}^{n-1}\left(-\frac{2}{3}\right)^{k-1}}$

よって、求める問題の数列の極限は

$\lim_{n\rightarrow\infty}{a_{n}}=\frac{1}{1-\left(-\frac{2}{3}\right)}=\frac{3}{5}$

問29

$\cos\frac{n\pi}{2}$

はnが奇数の時は0となるので、偶数番目のこうだけが残る。よって

$\sum_{n=0}^{\infty}{\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\cos\frac{n\pi}{2}}$

$=1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\cos\pi+\left(\frac{1}{2}\right)^{4}\cos2\pi+\ \cdot\ \cdot\ \cdot$

$=1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{4}-\left(\frac{1}{2}\right)^{6}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot$

$=\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2^{2}}\right)}=\frac{4}{5}$

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