数学学習の記録 271 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第14章(無限の世界への一歩-数列の極限、無限級数)の14.3(無限級数)、無限等比級数の問24, 25

2010年8月18日水曜日

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第14章(無限の世界への一歩-数列の極限、無限級数)の14.3(無限級数)、無限等比級数の問24, 25を解いてみる。

問24

x=0のとき、問題の無限級数は0に収束する。

また、

$|\frac{1}{1+x^{2}}|<1\ (x\ne0)$

より、問題の無限級数は収束する。その和を求めると、

$\frac{\frac{x^{2}}{1+x^{2}}}{1-\frac{1}{1+x^{2}}}=1$

よって求める関数は

$f(x)=0\ (x=0),\ f(x)=1\ (x\ne0)$

となる。

問25

問題の無限級数の和は

$S=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$

問題の無限級数の部分和は

$S_{n}=\frac{1-\frac{1}{2^{n-1}}}{1-\frac{1}{2}}=2-2^{2-n}$

よって

となる。このことから、無研究数の和と部分和の差は

$2^{2-n}$

よって求めるnの値は

$2^{2-n}<10^{-4}$

$\log_{10}2^{2-n}}<\log_{10}{10^{-4}}$

$(2-n)\log_{10}{2}<-4$

$n>15.2\ \cdot\ \cdot\ \cdot$

n=16