数学学習の記録 269 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第14章(無限の世界への一歩-数列の極限、無限級数)の14.2(極限の計算)、無限等比数列{r^{n}}の極限の問18 | Kamimura's blog

2010年8月16日月曜日

数学学習の記録 269 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第14章(無限の世界への一歩-数列の極限、無限級数)の14.2(極限の計算)、無限等比数列{r^{n}}の極限の問18

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第14章(無限の世界への一歩-数列の極限、無限級数)の14.2(極限の計算)、無限等比数列{r^{n}}の極限の問18を解いてみる。

問18

(1)

$x=\frac{1}{3}x+1$

$x=\frac{3}{2}$

より、与えられた漸化式を変形すると、

$a_{n+1}-\frac{3}{2}=\frac{1}{3}(a_{n}-\frac{3}{2})$

よって、

$b_{n}=a_{n}-\frac{3}{2}$

とおけば、これを一般項とする数列は公比1/3, 初項

$b_{1}=a_{1}-\frac{3}{2}=1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$

の等比数列となるので、

$b_{n}=-\frac{1}{2}(\frac{1}{3})^{n-1}$

この数列の極限は

$\lim_{n\rightarrow\infty}{b_{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}{-\frac{1}{2}(\frac{1}{3})^{n-1}}=0$

また、

$a_{n}=b_{n}+\frac{3}{2}$

より求める数列の極限は

$\lim_{n\rightarrow\infty}{a_{n}}=\frac{3}{2}$

(2)

$x=9-\frac{x}{2}$

x=6

より、与えられた漸化式を変形すると、

$a_{n+1}-6=-\frac{1}{2}(a_{n}-6)$

よって、

$b_{n}=a_{n}-6$

とおけばこれを一般項とする数列は公比-1/2、初項

$b_{1}=a_{1}-6=3-6=-3$

の等比数列となるので、

$b_{n}=-3(-\frac{1}{2})^{n-1}$

この数列の極限は

$\lim_{n\rightarrow\infty}{b_{n}}=0$

また、

$a_{n}=b_{n}+6$

より、求める数列の極限は

$\lim_{n\rightarrow\infty}{a_{n}}=6$

(3)

$x=\frac{3}{5}x-2$

x=-5

より、与えられた漸化式を変形すると

$a_{n+1}+5=\frac{3}{5}(a_{n}+5)$

よって、

$b_{n}=a_{n}+5$

とおけば、これを一般項とする数列は公比3/5, 初項

$b_{1}=a_{1}+5=7$

の等比数列となるので

$b_{n}=7(\frac{3}{5})^{n-1}$

この数列の極限は

$\lim_{n\rightarrow\infty}{b_{n}}=0$

また、

$a_{n}=b_{n}-5$

より、求める数列の極限は

$\lim_{n\rightarrow\infty}{a_{n}}=-5$

(4)

x=2x+1

x=-1

より与えられた漸化式を変形すると

$a_{n+1}+1=2(a_{n}+1)$

よって、

$b_{n}=a_{n}+1$

とおくと、これを一般項とする数列は公比2, 初項2の公比数列となるので、

$b_{n}=2\cdot(2)^{n-1}=2^{n}$

よってこの数列は+∞に発散する。

また、

$a_{n}=b_{n}-1$

より、求める数列の極限について、+∞に発散する。

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