数学学習の記録 267 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第14章(無限の世界への一歩-数列の極限、無限級数)の14.2(極限の計算)、無限等比数列{r^{n}}の極限の問16

2010年8月14日土曜日

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第14章(無限の世界への一歩-数列の極限、無限級数)の14.2(極限の計算)、無限等比数列{r^{n}}の極限の問16を解いてみる。

問16

(1)

$|x|=k\pi$

のとき、求める極限値は

$\lim_{n\rightarrow\infty}{|\sin x|^{n}}=0$

$|x|=\frac{\pi}{2}+k\pi$

のとき、求める極限値は

$\lim_{n\rightarrow\infty}{|\sin x|^{n}}=1$

上記以外の場合、

$0<\sin x<1$

より、求める極限値は

$\lim_{n\rightarrow\infty}{|\sin x|^{n}}=0$

よって求める関数f(x)は

f(x)=1 (x=π/2 + kπ (kは整数)のとき)

f(x)=0 (上記以外のとき)]

(2)

(1)と同様にして

$\lim_{n\rightarrow\infty}{|\cos x|^{n}}$

を求めると、

f(x)=1 (x=kπ (kは整数)のとき)

f(x)=0 (上位以外のとき)

これと、(1)を合わせて考えると、求める関数は

f(x)=1 (x=kπ/2 (kは整数)のとき)

f(x)=0 (上記以外のとき)