数学学習の記録 266 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第14章(無限の世界への一歩-数列の極限、無限級数)の14.2(極限の計算)、無限等比数列{r^{n}}の極限の問15

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第14章(無限の世界への一歩-数列の極限、無限級数)の14.2(極限の計算)、無限等比数列{r^{n}}の極限の問15を解いてみる。

グラフはiPadのneu.Notesにより描いてます。

問15

(1)

|x|<1のとき

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}}=0$

|x|=1のとき、

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}}=\frac{1}{2}$

|x|>1のとき、

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{\frac{1}{x^{2n}}+1}}=1$

よって求める関数f(x)のグラフは

(2)

|x|<1のとき

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{x^{2n+1}+1}{x^{2n}+1}}=1$

x=-1のとき

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{x^{2n+1}+1}{x^{2n}+1}}=0$

x=1のとき

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{x^{2n+1}+1}{x^{2n}+1}}=1$

|x|>1のとき

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{1+\frac{1}{x^{2n+1}}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2n+1}}}=x$

よって求める関数f(x)のグラフは

(3)

|x|<1のとき

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{|x|^{n}-1}{|x|^{n}+1}}=-1$

|x|=1のとき

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{|x|^{n}-1}{|x|^{n}+1}}=0$

|x|>1のとき

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{1-\frac{1}{|x|^{n}}}{1+\frac{1}{|x|^{n}}}}=1$

よって求める関数f(x)のグラフは

(4)

|x|<1のとき、

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{x+x^{2n}}{1+x^{2n}}}=x$

x=-1のとき

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{x+x^{2n}}{1+x^{2n}}}=0$

x=1のとき

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{x+x^{2n}}{1+x^{2n}}}=1$

|x|>1のとき

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{\frac{1}{x^{2n-1}}+1}{\frac{1}{x^{2n}}+1}}=1$

よって求める関数f(x)のグラフは

Kamimura's blog