数学学習の記録 265 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第14章(無限の世界への一歩-数列の極限、無限級数)の14.2(極限の計算)、無限等比数列{r^{n}}の極限の問14

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第14章(無限の世界への一歩-数列の極限、無限級数)の14.2(極限の計算)、無限等比数列{r^{n}}の極限の問14を解いてみる。

問14

(1)

$\theta=-\frac{\pi}{2}$

のとき、

$\sin\theta=-1$

より、

$\sin^{n}\theta=(-1)^{n}$

は振動する。

$-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$

のとき、

$-1<\sin\theta<1$

よって求める数列の極限は0

$\theta=\frac{\pi}{2}$

のとき、

$\sin\theta=1$

より、

$\sin^{n}\theta=1$

よって求める数列の極限は1

(2)

n乗ではなく2n乗であることに注意して(1)と同様に場合分けして求めると、

$-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$

のとき求める数列の極限は1

$\theta=\pm\frac{\pi}{2}$

のとき求める数列の極限は0

(3)

$0\leq\theta<\frac{\pi}{4}$

のとき、

$0\leq\sin\theta<\cos\theta\leq 1$

問題の数列の一般項を変形すると

$\frac{1-\frac{\sin^{n}\theta}{\cos^{n}\theta}}{1+\frac{\sin^{n}\theta}{cos^{n}\theta}}$

よって求める数列の極限は1

同様に他の場合も求めると

$\theta=\frac{\pi}{4}$

のとき求める数列の極限は0

$\frac{\pi}{4}<\theta\leq\frac{\pi}{2}$

のとき求める数列の極限は-1

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