数学学習の記録 263 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第14章(無限の世界への一歩-数列の極限、無限級数)の14.2(極限の計算)、極限の法則(3)- +∞, -∞に発散する数列

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第14章(無限の世界への一歩-数列の極限、無限級数)の14.2(極限の計算)、極限の法則(3)- +∞, -∞に発散する数列の問10, 11, 12を解いてみる。

問10

(1)

n → +∞ , (n-1) → +∞

よって求める極限は

$\lim_{n\rightarrow\infty}{n(n-1)}=+\infty$

(2)

$n(-n^{2}+3),\ n\rightarrow\infty,\ -n^{2}+3\rightarrow-\infty$

よって求める極限は

$\lim_{n\rightarrow\infty}{(-n^{3}+8n)}=-\infty$

(3)

$\frac{3n-4}{1+\frac{2}{n}},\ 3n-4\rightarrow\infty},\ 1+\frac{2}{n}\rightarrow1$

よって求める極限は

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{3n^{2}-4n}{n+2}}=\infty$

(4)

$\frac{\frac{1}{n^{2}}-\frac{4}{n}+5n}{\frac{2}{n^{2}}-3},\ \frac{1}{n^{2}}-\frac{4}{n}+5n\rightarrow\infty,\ \frac{2}{n^{2}}-3\rightarrow-3$

よって求める極限は

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{1-4n+5n^{3}}{2-3n^{2}}}=-\infty$

問11

(1)

命題は正しくない。

反例

$a_{n}=(-1)^{n}$

(2)

命題は正しくない。

反例

$a_{n}=n,\ b_{n}=2n$

(3)

命題は正しい。

(4)

命題は正しくない。

反例

$a_{n}=n,\ b_{n}=(-1)^{n}n$

問12

(1)

$a_{n}=n^{2},\ b_{n}=n$

(2)

$a_{n}=n+(-1)^{n},\ b_{n}=n$

(3)

$a_{n}=\frac{1}{n},\ b_{n}=n$

(4)

$a_{n}=-\frac{1}{n},\ b_{n}=n^{2}$

(5)

$a_{n}=(-1)^{n}\frac{1}{n},\ b_{n}=n$

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2010年8月10日火曜日