数学学習の記録 262.1 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第14章(無限の世界への一歩-数列の極限、無限級数)の14.2(極限の計算)、極限の法則(2)-極限値の不等式の問8, 9

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第14章(無限の世界への一歩-数列の極限、無限級数)の14.2(極限の計算)、極限の法則(2)-極限値の不等式の問8, 9を解いてみる。

問8

(1)

$-\frac{1}{n}\leq\frac{1}{n}\cos n\theta\leq\frac{1}{n}$

となり、

$\lim_{n\rightarrow\infty}{-\frac{1}{n}}=\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{n}}=0$

より、

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{n}\cos n\theta}=0$

(2), (3), (4)も同様に求める極限値は0となる。

問9

(1)

|x|=|(x-y)+y|<=|x-y|+|y|

よって

|x|-|y|<=|x-y|

また、

|y|=|x+(-x+y)|<=|x|+|-x+y|=|x|+|x-y|

よって

-|x-y|<=|x|-|y|

以上より、

-|x-y|<=|x|-|y|<=|x-y|

すなわち、

||x|-|y||<=|x-y|

(2)

$\lim_{n\rightarrow\infty}{a_{n}}=\alpha$

ならば、

$\lim_{n\rightarrow\infty}{|a_{n}-\alpha|}=0$

また、(1)より、

$0\leq|\ |a_{n}|\ -\ |\alpha|\ |\leq|a_{n}-\alpha|$

よって

$\lim_{n\rightarrow\infty}{|\ |a_{n}|\ -\ |\alpha|\ |}=0$

これは

$\lim_{n\rightarrow\infty}{|a_{n}|}=|\alpha|$

であることと同値である。

(証明終)

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