数学学習の記録 262 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第14章(無限の世界への一歩-数列の極限、無限級数)の14.2(極限の計算)、極限の法則(1)-極限値と四則の問5, 6, 7

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第14章(無限の世界への一歩-数列の極限、無限級数)の14.2(極限の計算)、極限の法則(1)-極限値と四則の問5, 6, 7を解いてみる。

問5

(1)

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n(n+1)}{2n^{2}}}=\frac{1}{2}$

(2)

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^{3}}}=\frac{1}{3}$

(3)

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{2n(n+1)(2n+1)}{6n^{3}}}=\frac{2}{3}$

問6

(1)

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\sin\frac{\pi}{n}}=0$

(2)

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\cos\frac{\pi}{n}}=1$

(3)

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\log_{2}{\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{16n+5}}}=-2$

問7

AB=c, AC=bとおく。また点

$P_{k}\ (1\leq k\leq n)$

から辺AB, ACにおろした垂線をそれぞれ

$P_{k}Q_{k},\ P_{k}R_{k}$

とおくと、

$AP_{k}^{2}=P_{k}Q_{k}^{2}+AQ_{k}^{2}$

$=P_{k}Q_{k}^{2}+P_{k}R_{k}^{2}$

よって

$\sum_{k=1}^{n}{AP_{k}^{2}}=\sum_{k=1}^{n}{P_{k}Q_{k}^{2}}+\sum_{k=1}^{n}{P_{k}R_{k}^{2}}$

$=\frac{b^{2}}{(n+1)^{2}}\sum_{k=1}^{n}{k^{2}}+\frac{c^{2}}{(n+1)^{2}}\sum_{k=1}^{n}{k^{2}}$

以上より、問題の求める極限値は

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{(b^{2}+c^{2})n(n+1)(2n+1)}{n(n+1)^{2}6}$

$=\frac{1}{3}(b^{2}+c^{2})=\frac{1}{3}a^{2}$

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