数学学習の記録 261 "数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第14章(無限の世界への一歩-数列の極限、無限級数)の14.2(極限の計算)、極限の法則(1)-極限値と四則の問2, 3, 4

"数学読本 (4) 数列の極限、無限級数順列・組合せ確率関数の極限と微分法"の第14章(無限の世界への一歩-数列の極限、無限級数)の14.2(極限の計算)、極限の法則(1)-極限値と四則の問2, 3, 4を解いてみる。

問2

(1) 2

(2) 2/5

(3) -3/2

(4) 0

問3

(1)

$\lim_{n \rightarrow \infty }{\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}$

$=\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}=0$

(2)

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{(\sqrt{n^{2}-2n}-n)(\sqrt{n^{2}-2n}+n)}{\sqrt{n^{2}-2n}+n}}$

$=\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{-2n}{\sqrt{n^{2}-2n}+n}}=-1$

(3)

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{(\sqrt{n^{2}+n+1}-\sqrt{n^{2}-n+1})(\sqrt{n^{2}+n+1}+\sqrt{n^{2}-n+1})}{\sqrt{n^{2}+n+1}+\sqrt{n^{2}-n+1}}}$

$=\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{2n}{\sqrt{n^{2}+n+1}+\sqrt{n^{2}-n+1}}=1$

(4)

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{\sqrt{4n^{2}+n}+2n}{(\sqrt{4n^{2}+n}-2n)(\sqrt{4n^{2}+n}+2n)}}$

$=\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{\sqrt{4n^{2}+n}+2n}{n}}=4$

問4

一般項は

$\frac{(n+2)(n+3)}{n(n+1)}$

となるので問題の数列の極限値は

$\lim_{n\rightarrow\infty}{\frac{n^{2}+5n+6}{n^{2}+n}}=1$

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