数学学習の記録 259 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第13章("離散的"な世界-数列)の13.2(数学的帰納法と数列)、数列の帰納的定義の問36, 37, 38 | Kamimura's blog

2010年8月6日金曜日

数学学習の記録 259 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第13章("離散的"な世界-数列)の13.2(数学的帰納法と数列)、数列の帰納的定義の問36, 37, 38

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第13章("離散的"な世界-数列)の13.2(数学的帰納法と数列)、数列の帰納的定義の問36, 37, 38を解いてみる。

問36

2次方程式

$2x^{2}-x-1=0$

(x-1)(2x+1)=0

の解は

$x=1,\ -\frac{1}{2}$

よって問題の数列の一般項はある定数A, Bによって

$a_{n}=A+B\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ (n>=2)

と表される。これにn=1, 2のときの値を代入すると

0=A+B

$1=A-\frac{1}{2}B$

この連立方程式を解くと

$A=\frac{2}{3},\ B=-\frac{2}{3}$

よって求める数列の一般項は

$\frac{2}{3}\left(1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right)$

問37

2次方程式

$x^{2}-8x+15=0$

(x-3)(x-5)=0

の解は

$x=3,\ x=5$

よって問題の数列の一般項はある定数A, Bによって

$a_{n}=3^{n-1}A+5^{n-1}B$

と表される。これにn=1, 2のときの値を代入すると

2=A+B

7=3A+5B

この連立方程式を解くと

B=2-A

7=3A+10-5A

$A=\frac{3}{2},\ B=\frac{1}{2}$

よって求める数列の一般項は

$a_{n}=\frac{1}{2}(3^{n}+5^{n-1})$

問38

2つの漸化式の辺辺を加えると、

$a_{n+1}+b_{n+1}=9(a_{n}+b_{n})$

また、

$a_{1}+b_{1}=2+1=3$

よって一般項

$a_{n}+b_{n}$

の数列は初項3, 公比9の等比数列となるので、

$a_{n}+b_{n}=3\cdot9^{n-1}$

となる。

また、2つの漸化式の辺辺を引いてみると、

$a_{n+1}-b_{n+1}=3(a_{n}-b_{n})$

また、

$a_{1}-b_{1}=2-1=1$

よって一般項

$a_{n}-b_{n}$

の数列は初項1, 公比3の等比数列となるので

$a_{n}-b_{n}=3^{n-1}$

2つの等比数列から

$a_{n}=\frac{1}{2}(3\cdot9^{n-1}+3^{n-1})$

$=\frac{3^{n-1}}{2}(3^{n}-1)$

$b_{n}=\frac{1}{2}(3\cdot9^{n-1}-3^{n-1})$

$=\frac{3^{n-1}}{2}(3^{n}-1)$

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