数学学習の記録 258 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第13章("離散的"な世界-数列)の13.2(数学的帰納法と数列)、数列の帰納的定義の問33

2010年8月5日木曜日

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第13章("離散的"な世界-数列)の13.2(数学的帰納法と数列)、数列の帰納的定義の問33を解いてみる。

問33

問題の数列は

$1,\ \frac{1}{3},\ \frac{1}{7},\ \frac{1}{15},\ \cdot\ \cdot\ \cdot$

この数列の一般項を

$a_{n}=\frac{1}{2^{n}-1}$

と推定する。

n=1のときは成り立つ。

n=kのとき成り立つと仮定すると

$a_{k+1}=\frac{a_{k}}{a_{k}+2}$

$=\frac{\frac{1}{2^{k}-1}}{\frac{1}{2^{k}-1}+2}$

$=\frac{1}{1+2^{k+1}-2}$

$=\frac{1}{2^{k+1}-1}$

よってn=k+1のときも成り立つ。

よって求める数列の一般項は

$a_{n}=\frac{1}{2^{n}-1}$