2010年8月4日水曜日

"平面上のベクトル 複素数と複素平面 空間図形 2次曲線 数列 (数学読本)"の第13章("離散的"な世界-数列)の13.2(数学的帰納法と数列)、数列の帰納的定義の問32を解いてみる。


問32

(1)

問題の数列の階差数列の一般項は

b_{n}=a_{n+1}-a_{n}=2n

よって、

a_{1}=1

n>=2のとき

a_{n}=1+\sum_{k=1}^{n-1}{2k}

=1+n(n-1)=n^{2}-n+1

これはn=1のとき1となるので、求める数列の一般項となる。

(2)

問題の数列の階差数列は

b_{n}=3^{n}

よって

a_{1}=2

n>=のとき

a_{n}=2+\sum_{k=1}^{n-1}3^{k}

=2+\frac{3(1-3^{n-1})}{1-3}=\frac{1}{2}(1+3^{n})

これはn=1のとき2となるので、求める数列の一般項となる。

(3)

x＝３x−２

の解を求めると

x=1

となるので

a_{n+1}-1=3(a_{n+1}-1)

よって一般項が

a_{n}-1

の数列は初項1, 公比3の等比数列となるので

a_{n}-1=3r^{n-1}

よって求める数列の一般項は

a_{n}=3^{n-1}+1

(4)

x=-2x+9

の解を求めると、

x=3

となるので

a_{n+1}-3=-2(a_{n}-3)

よって一般項が

a_{n}-3

の数列は初項-2, 公比-2の数列となるので

a_{n}-3=(-2)^{n}

よって求める数列の一般項は

a_{n}=(-2)^{n}+3

(5)

2x=x-6

の解を求めると

x=-6

となるので

2(a_{n+1}+6)=a_{n}+6

よって一般項

a_{n}+6

の数列は初項8, 公比1/2の等比数列となるので

a_{n}+6=8\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}

よって求める数列の一般項は

a_{n}=\frac{1}{2^{n-4}}-6

(6)

問題の数列は

1,\ \frac{1}{2},\ \frac{1}{3},\ \cdot\ \cdot\ \cdot

となる。一般項を

a_{n}=\frac{1}{n}

と推定する。

n=1のときは1となり成り立つ。

n=kのとき成り立つと仮定すると、

a_{k+1}=\frac{k}{k+1}\cdot\frac{1}{k}=\frac{1}{k+1}

よってn=k+1のときも成り立つので推定は正しい。よって求める数列の一般項は

a_{n}=\frac{1}{n}

(7)

問題の数列は

2,\ \frac{2}{3},\ \frac{2}{5},\ \cdot\ \cdot\ \cdot

となる。一般項を

a_{n}=\frac{2}{2n-1}

と推定する。

n=kのとき成り立つと仮定すると

a_{k+1}=\frac{\frac{2}{2k-1}}{\frac{2}{2k-1}+1}

=\frac{2}{2+2k-1}=\frac{2}{2(k+1)-1}

よってn=k+1のときも成り立つので推定は正しい。よって求める数列の一般項は

a_{n}=\frac{2}{2n-1}

(8)

問題の数列は

3, 3, 6, 12, 24, ・・・

となる。n>=2のときの一般項を

a_{n}=3\cdot2^{n-2}

と推定する。

n<=k(k>=2)のとき成り立つと仮定すると

a_{k+1}=3+\ \sum_{n=2}^{k}{3\cdot2^{k-2}}

=3+\frac{3(1-2^{k-1})}{1-2}

=3\cdot2^{(k+1)-2}

よってn=k+1のときも成り立つので推定は正しい。よって求める数列の一般項は

a_{1}=3,\ a_{n}=3\cdot2^{n-2}\ (n\geq 2)
時刻: 12:39 ラベル: , , , ,

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