2010年8月3日火曜日

"平面上のベクトル 複素数と複素平面 空間図形 2次曲線 数列 (数学読本)"の第13章("離散的"な世界-数列)の13.2(数学的帰納法と数列)、数学的帰納法の問29, 30を解いてみる。



問29

n=1のとき

8-7-1=0

よって49で割り切れる

n=kのとき49で割り切れると仮定すると

8^{k+1}-7(k+1)-1=8(8^{k}-7k-1)+49k

よってn=k+1のときも49で割り切れる。

(証明終)


問30

(1)

n=5のとき

左辺=32

右辺=25

n=k(k>=5)のとき成り立つと仮定すると

2^{k}>k^{2}

両辺に2をかけると、

2^{k+1}>2k^{2}

ここで

2k^{2}-(k+1)^{2}=k^{2}-2k-1=(k-1)>0

(k\geq 5)

よって

2^{k+1}>2k^{2}>(k+1)^{2}

すなわち

2^{k+1}>(k+1)^{2}

よってn=k+1のときも成り立つ。

(証明終)

(2)

n=2のとき

左辺=1+1/4 =5/4

右辺=2-1/2=3/2=6/4

よって

左辺<右辺

n=k(k>=2)のとき成り立つと仮定すると、

\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ \frac{1}{k^{2}}<2-\frac{1}{k}

両辺に

\frac{1}{(k+1)^{2}}

を加えると

\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +\frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{(k+1)^{2}}<2-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^{2}}

2-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^{2}}

=2-\frac{(k+1)^{2}-k}{k(k+1)^{2}}

=2-\frac{k^{2}+k+1}{k(k+1)^{2}}

ここで

(2-\frac{1}{k+1})-(2-\frac{k^{2}+k+1}{k(k+1)^{2}})

=-\frac{1}{k+1}+\frac{k^{2}+k+1}{k(k+1)^{2}

=\frac{-k^{2}-k+k^{2}+k+1}{k(k+1)^{2}}

=\frac{1}{k(k+1)^{2}}>0

よって

\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +\frac{1}{k^{2}}+\frac{1}{(k+1)^{2}}>2-\frac{1}{k+1}

ゆえに、n=k+1のときも成り立つ。
時刻: 9:49 ラベル: , , , ,

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