2010年8月2日月曜日

"平面上のベクトル 複素数と複素平面 空間図形 2次曲線 数列 (数学読本)"の第13章("離散的"な世界-数列)の13.2(数学的帰納法と数列)、数学的帰納法の問27, 28を解いてみる。



問27

n=1のとき成り立つ。

n=kのとき成り立つと仮定すると、

a^{k}<b^{k}

両辺にaをかけると

a^{k+1}<b^{k}a<b^{k+1

よってn=k+1のときも成り立つ。

よって任意の自然数nに対して成り立つ。

(証明終)


問28

(1)

n=1のとき、

左辺=1

右辺=1/6*1*2*3=1

よって成り立つ。

nのとき成り立つと仮定すると

1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +n^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)

1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ \cdot\ \cdot\ +n^{2}+(n+1)^{2}

=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+(n+1)^{2}

=\frac{1}{6}(n+1)(2n^{2}+n+6n+6)

=\frac{1}{6}(n+1)(2n^{2}+7n+6)

=\frac{1}{6}(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)

よってn+1のとこも成り立つ。よって任意の自然数に対して成り立つ。

(証明終)

(2)

n=1のとき

左辺=1/2

右辺=1/2

n=kのとき成り立つと仮定すると

\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}

=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}

=\frac{k^{2}+2k+1}{(k+1)(k+2)}

=\frac{(k+1)^{2}}{(k+1)(k+2)}

=\frac{k+1}{(k+1)+1}

よってn=k+1のときも成り立つ。

(証明終)

(3)

n=1のとき、

左辺=1*2*3=6

右辺=1/4 * 1*2*3*4=6

n=kのとき成り立つと仮定すると

1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ + k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)(k+3)

=\frac{1}{4}k(k+1)(k+2)(k+3)+(k+1)(k+2)(k+3)

=\frac{1}{4}(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

よってn=k+1のときも成り立つ。

(証明終)

(4)

n=1のとき

左辺=1-1/2=1/2

右辺=1/2

n=kのとき成り立つと仮定すると

1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k}+\frac{1}{2(k+1)-1}-\frac{1}{2(k+1)}

=\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +\frac{1}{2k}+\frac{2(k+1)-2k-1}{2(k+1)(2k+1)}

=\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +\frac{1}{2k}+\frac{1}{2(k+1)(2k+1)}

=\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\frac{1}{k+4}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +\frac{1}{2k}+\frac{1}{2k+1}+\frac{1}{2(k+1)}

よってn=k+1のときも成り立つ。

(証明終)

(5)

n=1のとき

左辺=1-4=-3

右辺=-3

n=kのとき成り立つと仮定すると、

1^{2}-2^{2}+3^{2}-4^{2}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +(2k-1)^{2}-(2k)^{2}+(2(k+1)-1)^{2}-(2(k+1))^{2}

=-k(2k+1)+4k^{2}+4k+1-4k^{2}-8k-4

=-2k^{2}-5k-3

=-(k+1)(2(k+1)+1)
時刻: 22:28 ラベル: , , , ,

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