2010年8月1日日曜日

"平面上のベクトル 複素数と複素平面 空間図形 2次曲線 数列 (数学読本)"の第13章("離散的"な世界-数列)の13.1(数列とその和)、その他の数列の問22, 23を解いてみる。



問22

(1)

\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)

と分解できるので、求める数列のはじめのn項の和は

\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)=\frac{n}{2n+1}

(2)

\frac{1}{k(k+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)

と分解できるので、求める和は

\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)

=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}-\frac{2n+3}{(n+1)(n+2)}\right)

(3)

\frac{1}{\frac{1}{2}k(1+k)}=\frac{2}{k(k+1)}=2\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)

よって求める和は

2\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{2n}{n+1}


問23

以下、求める数列の最初のn項の和をSとおく。

(1)

S=1+2\cdot 2+3\cdot2^{2}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +n\cdot 2^{n-1}

2S=1\cdot2+2\cdot 2^{2}+3\cdot2^{3}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +(n-1)\cdot 2^{n-1}+n\cdot 2^{n}

よって

(1-2)S=\frac{1-2^{n}}{1-2}-n\cdot2^{n}

S=1+2^{n}(n-1)

(2)

S=1\cdot 2+3\cdot 2^{2}+5\cdot 2^{3}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +(2n-1)\cdot 2^{n}

2S=1\cdot 2^{2}+3\cdot 2^{3}+5\cdot 2^{4}+\ \cdot\ \cdot\ +(2n-3)\cdot 2^{n}+(2n-1)\cdot 2^{n+1}

-S=2+2^{3}+2^{4}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +2^{n+1}-(2n-1)2^{n+1}

S=-\frac{2(1-2^{n+1})}{1-2}-4-(2n-1)2^{n+1}

S=2(1-2^{n+1})+4+(2n-1)2^{n+1}

S=(2n-3)2^{n+1}+6

(3)

S=\frac{1}{3}+\frac{3}{3^{2}}+\frac{5}{3^{3}}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +\frac{2n-1}{3^{n}}

\frac{1}{3}S=\frac{1}{3^{2}}+\frac{3}{3^{3}}+\frac{5}{3^{4}}+\frac{2n-3}{3^{n}}+\frac{2n-1}{3^{n+1}}

\frac{2}{3}S=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^{2}}+\frac{2}{3^{3}}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +\frac{2}{3^{n}}-\frac{2n-1}{3^{n+1}}

S=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +\frac{1}{3^{n-1}}-\frac{2n-1}{2\cdot3^{n}}}

S=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1-\frac{1}{3^{n-1}}}{1-\frac{1}{3}}-\frac{2n-1}{2\cdot3^{n}}

S=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{3}{2\cdot3^{n}}-\frac{2n-1}{2\cdot\3^{n}}

S=1-\frac{n+1}{3^{n}}
時刻: 11:37 ラベル: , , , ,

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