数学学習の記録 253.1 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第13章("離散的"な世界-数列)の13.1(数列とその和)、平方の和, 立方の和の問20, 21 | Kamimura's blog

2010年7月31日土曜日

数学学習の記録 253.1 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第13章("離散的"な世界-数列)の13.1(数列とその和)、平方の和, 立方の和の問20, 21

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第13章("離散的"な世界-数列)の13.1(数列とその和)、平方の和, 立方の和の問20, 21を解いてみる。

問20

(1)

$\frac{3n(n+1)}{2}-2n=\frac{n(3n-1)}{2}$

(2)

$\frac{2n}{6}(n+1)(2n+1)+\frac{1}{2}n(n+1)-n$

$\frac{n}{6}(4n^{2}+6n+3n+2+3-6)$

$=\frac{n}{6}(4n^{2}+9n-1)$

(3)

$\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+n(n+1)$

$=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+7)$

(4)

$\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+\frac{3}{2}n(n+1)-4n$

$=\frac{1}{6}n(2n^{2}+3n+1+9n+9-24)$

$=\frac{1}{6}n(2n^{2}+12n-14)$

$=\frac{1}{3}n(n+7)(n-1)$

(5)

$\left(\frac{1}{2}n(n+1)\right)^{2}+\frac{2}{6}n(n+1)(2n+1)+\frac{1}{2}n(n+1)$

$=\frac{1}{12}n(n+1)(3n^{2}+3n+8n+4+6)$

$=\frac{1}{12}n(n+1)(3n^{2}+11n+10)$

$=\frac{1}{12}n(n+1)(n+2)(3n+5)$

(6)

$2\left(\frac{1}{2}n(n+1)\right)^{2}+\frac{1}{2}n(n+1)(2n+1)+\frac{1}{2}n(n+1)$

$=\frac{1}{2}n(n+1)(n^{2}+n+2n+1+1)$

$=\frac{1}{2}n(n+1)^{2}(n+2)$

問21

(1)

第k項は

$a_{k}=(2k-1)^{2}$

となるので求める数列の初項から第n項までの和は

$\frac{2}{3}n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)+n$

$=\frac{1}{3}n(4n^{2}+6n+2-6n-6+3)$

$=\frac{1}{3}n(2n+1)(2n-1)$

(2)

第k項は

$a_{k}=(2k)^{2}$

となるので求める数列の初項から第n項までの和は

$\frac{2}{3}n(n+1)(2n+1)$

(3)

第k項は

$a_{k}=k^{2}(3k-1)$

となるので求める数列の初項から第n項までの和は

$3\left(\frac{1}{2}n(n+1)\right)^{2}-\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

$=\frac{1}{12}n(n+1)(9n^{2}+9n-4n-2)$

$=\frac{1}{12}n(n+1)(9n^{2}+5n-2)$

(4)

第k項は

$a_{k}=\frac{1}{2}k(k+1)$

となるので求める数列の初項から第n項までの和は

$\frac{1}{2}\left(\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+\frac{1}{2}n(n+1)\right)$

$=\frac{1}{12}n(n+1)(2n+4)$

$=\frac{1}{6}n(n+1)(n+2)$

(5)

求める数列の初項から第n項までの和は自然数の1から

$\frac{1}{2}n(n+1)$

までの和に等しいので、

$\frac{1}{2}(\frac{1}{2}n(n+1)(1+\frac{1}{2}n(n+1))$

$=\frac{1}{8}n(n+1)(n^{2}+n+2)$

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