数学学習の記録 251.1 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第13章("離散的"な世界-数列)の13.1(数列とその和)、等比数列とその一般項の問15, 16

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第13章("離散的"な世界-数列)の13.1(数列とその和)、等比数列とその一般項の問15, 16を解いてみる。

問15

等比数列

$\left\{a_{n}\right\},\ \left\{b_{n}\right\}$

の初項、公比をそれぞれa, b, r, r'とおくと

$a_{n}=ar^{n-1},\ b_{n}=br'^{n-1}$

となるので、

$a_{n}b_{n}=(ab)(rr')^{n-1}$

となる。よって数列

$\left\{a_{n}b_{n}\right\}$

も等比数列である。

問16

(1)

等差数列の公差をdとおくと、等差数列は

$a_{1},\ a_{1}+d,\ a_{1}+2d,\ \cdot\ \cdot\ \cdot$

となり、問題の数列は

$10^{a_{1}},\ 10^{a_{1}+d},\ 10^{a_{1}+2d},\ \cdot\ \cdo\ \cdot$

すなわち、

$10^{a_{1}},\ 10^{a_{1}}\cdot10^{d},\ 10^{a_{1}}\cdot(10^{d}})^{2},\ \cdot\ \cdot\ \cdot$

となるので問題の数列はそれぞれ、初項、公比

$10^{a_{1}},\ 10^{d}$

の等比数列となる。

(2)

問題の等比数列の公比をrとおくと、この等比数列は

$b_{1},\ b_{1}r,\ b_{1}r^{2},\ \cdot\ \cdot\ \cdot$

となる。よって

$\log_{10}{b_{n+1}}-\log_{10}{b_{n}}=\log_{10}{\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\log_{10}{r}$

となるので、問題の数列は初項、公差がそれぞれ

$\log_{10}{b_{1}},\ \log_{10}{r}$

の等差数列となる。

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