数学学習の記録 251 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第13章("離散的"な世界-数列)の13.1(数列とその和)、等比数列とその一般項の問12, 13, 14 | Kamimura's blog

2010年7月29日木曜日

数学学習の記録 251 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第13章("離散的"な世界-数列)の13.1(数列とその和)、等比数列とその一般項の問12, 13, 14

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第13章("離散的"な世界-数列)の13.1(数列とその和)、等比数列とその一般項の問12, 13, 14を解いてみる。

問12

(1)

$1\cdot 2^{7-1}=64$

(2)

$4\left(-\frac{1}{2}\right)^{6-1}=-\frac{1}{8}$

(3)

$a_{n}=\sqrt{2}(\sqrt{2})^{n-1}=(\sqrt{2})^{n}$

(4)

$a_{n}=2(-3)^{n-1}$

問13

(1)

$ar^{3-1}=4$

$ar^{5-1}=36$

$r^{2}=9$

$r=\pm3$

$a=\frac{4}{9}$

よって初項a, 公比rの等比数列の一般項は

$a_{n}=\frac{4}{9}(\pm3)^{n-1}=4\cdot(\pm3)^{n-3}$

(複合同順)

(2)

$ar^{3-1}=9$

$ar^{6-1}=-\frac{8}{3}$

$r^{3}=-\frac{2^{3}}{3^{3}}$

$r=-\frac{2}{3}$

$a\cdot\frac{4}{9}=9$

$a=\frac{81}{4}$

初項a, 公比rの等比数列一般項は

$a_{n}=\frac{81}{4}\left(-\frac{2}{3}\right)^{n-1}=9\left(-\frac{2}{3}\right)^{n-3}$

問14

(1)

a, b, cがこの順に等比数列をなすならば、

$\frac{b}{a}=\frac{c}{b}$

$b^{2}=ac$

逆に、

$b^{2}=ac$

ならば、両辺をabで割ると、

$\frac{b}{a}=\frac{c}{b}$

よってa, b, cはこの順に等比数列をなす。

(2)

a+b+c=13

abc=27

(1)より

$b^{3}=27$

b=3

公比をrとおくと

$a=\frac{b}{r},\ c=br$

より、

$\frac{3}{r}+3+3r=13$

$3r^{2}-10r+3=0$

$r=\frac{5\pm\sqrt{25-9}}{3}=3,\ \frac{1}{3}$

よって

$a=1,\ b=3,\ c=9$

$a=9,\ b=3,\ c=1$

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