数学学習の記録 250.1 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第13章("離散的"な世界-数列)の13.1(数列とその和)、等差数列の和の問10, 11

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第13章("離散的"な世界-数列)の13.1(数列とその和)、等差数列の和の問10, 11を解いてみる。

問10

第n組に属する奇数の個数はn個。また第n-1組までに含まれる奇数の個数は

1+2+ ・・・ + (n-1)

$=\frac{(n-1)(n-1+1)}{2}$

$=\frac{n(n-1)}{2}$

よって第n組の初項は1から数えて

$\frac{n(n-1)}{2}+1$

番目の奇数、すなわち

n(n-1)+1

そして第n組を等差数列と考えたとき、公差は2なので、求める第n組の数の総和は

$\frac{n(2(n(n-1)+1)+(n-1)2)}{2}$

$=n(n^{2}-n+1+n-1)$

$=n^{3}$

問11

(1)

$1+2+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ + m=\frac{m(m+1)}{2}$

(2)

$1+2+\ \cdot\ \cdot\ \cdot\ +(n-1)+1=\frac{(n-1)n}{2}+1$

(3)

左の図の○印にある数にmを加えた数が求める上から第m行目と左から第n列目とが交差する位置にある数なので、求める数は(1)より、

$\frac{(m+n-2)(m+n-1)}{2}+m$

(4)

100がm行n列目にあるとすると、

$\frac{(m+n-2)(m+n-1)}{2}+m=100$

また、

m+n=l

とおくと、lは

$\frac{(l-2)(l-1)}{2}<100$

を満たす最大の整数となる。よって

l=15

よって

$m=100-\frac{13*14}{2}=9$

以上より、100は9行6列目にある。

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