数学学習の記録 248 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第12章(放物線・楕円・双曲線-2次曲線)の12.3(2次曲線の平行移動と回転)、図形の回転の問26

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第12章(放物線・楕円・双曲線-2次曲線)の12.3(2次曲線の平行移動と回転)、図形の回転の問26を解いてみる。

問26

(1)

$3(x\cos45^{\circ}+y\sin45^{\circ})^{2}-2(x\cos45^{\circ}+y\sin45^{\circ})(-x\sin45^{\circ}+y\cos45^{\circ})+3(-x\sin45^{\circ}+y\cos45^{\circ})^{2}=2$

$3(x^{2}+2xy+y^{2})+2(x^{2}-y^{2})+3(x^{2}-2xy+y^{2})=4$

$8x^{2}+4y^{2}=4$

$2x^{2}+y^{2}=1$

よって与えられた方程式が表す曲線は楕円

(2)

$2(-x\sin30^{\circ}+y\cos30^{\circ})^{2}+2\sqrt{3}(x\cos30^{\circ}+y\sin30^{\circ})(-x\sin30^{\circ}+y\cos30^{\circ})=-1$

$2(x^{2}-2\sqrt{3}xy+3y^{2})+2\sqrt{3}(-\sqrt{3}x^{2}+3xy-xy+\sqrt{3}y^{2})=-4$

$-4x^{2}+12y^{2}=-4$

$x^{2}-3y^{2}=1$

よって与えられた方程式が表す曲線は双曲線

(3)

$(x\cos45^{\circ}+y\sin45^{\circ}-x\sin45^{\circ}+y\cos45^{\circ})^{2}=\sqrt{2}(x\cos45^{\circ}+y\sin45^{\circ}+x\sin45^{\circ}-y\cos45^{\circ})$

$\frac{4y^{2}}{2}=2x$

$y^{2}=x$

よって与えられた方程式が表す曲線は放物線

(4)

$\left(\frac{x}{\sqrt{2}}-\frac{y}{\sqrt{2}}-\frac{x}{\sqrt{2}}-\frac{y}{\sqrt{2}}\right)^{2}+\left(\frac{x}{\sqrt{2}}-\frac{y}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{y}{\sqrt{2}}\right)=3$

$2y^{2}+\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=3$

$x^{2}+3y^{2}=6$

$\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{2}=1$

よって与えられた方程式が表す曲線は楕円

(5)

$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}y-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y\right)^{2}=4\left(\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{3}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}y\right)$

$4y^{2}=8x$

$y^{2}=2x$

よって与えられた方程式が表す曲線は放物線

(6)

$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}x-\frac{1}{\sqrt{2}}y-\frac{1}{\sqrt{2}}x-\frac{1}{\sqrt{2}}y\right)^{2}$

$-4\left(\frac{1}{\sqrt{2}}x-\frac{1}{\sqrt{2}}y\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}x+\frac{1}{\sqrt{2}}y\right)=-4$

$2y^{2}-2x^{2}+2y^{2}=-4$

$\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$

よって与えられた方程式が表す曲線は放物線

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2010年7月26日月曜日