数学学習の記録 247.1 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第12章(放物線・楕円・双曲線-2次曲線)の12.3(2次曲線の平行移動と回転)、2次曲線の平行移動の問25 | Kamimura's blog

2010年7月25日日曜日

数学学習の記録 247.1 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第12章(放物線・楕円・双曲線-2次曲線)の12.3(2次曲線の平行移動と回転)、2次曲線の平行移動の問25

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第12章(放物線・楕円・双曲線-2次曲線)の12.3(2次曲線の平行移動と回転)、図2次曲線の平行移動の問25を解いてみる。

概形はiPadのneu.Notesにより描いてます。

問25

$y=x^{2}$

$4\cdot\frac{1}{4}y=x^{2}$

よってこの放物線の焦点は

$\left(0,\ \frac{1}{4}\right)$

また、

$ax=y^{2}+by$

$ax+\frac{b^{2}}{4}=\left(y+\frac{b}{2}\right)^{2}$

$a\left(x+\frac{b^{2}}{4a}\right)=\left(y+\frac{b}{2}\right)^{2}$

より、この放物線は

$ax=y^{2}$

$4\cdot\frac{a}{4}=y^{2}$

をx軸方向に

$-\frac{b^{2}}{4a}$

y軸方向に

$-\frac{b}{2}$

だけ平行移動したものとなる。平行移動する前の放物線の焦点は

$\left(\frac{a}{4},\ 0\right)$

よって平行移動した放物線の焦点は

$\left(\frac{a}{4}-\frac{b^{2}}{4a},\ -\frac{b}{2}\right)$

問題の2つの放物線の焦点は一致しているので、

$\frac{a}{4}-\frac{b^{2}}{4a}=0$

$\frac{1}{4}=-\frac{b}{2}$

という連立方程式を解くと、

$b=-\frac{1}{2}$

$\frac{a}{4}-\frac{1}{16a}=0$

$4a^{2}=1$

$a^{2}=\frac{1}{4}$

ここでaは正の定数なので

$a=\frac{1}{2}$

以上をまとめると、

$a=\frac{1}{2},\ b=-\frac{1}{2}$

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