数学学習の記録 246 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第12章(放物線・楕円・双曲線-2次曲線)の12.2(2次曲線と直線)、楕円・双曲線と直線の問23

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第12章(放物線・楕円・双曲線-2次曲線)の12.2(2次曲線と直線)、楕円・双曲線と直線の問23を解いてみる。

概形はiPadのneu.Notesにより描いてます。

問23

点Pが座標軸上にあるときは明らか。

点Pが座標軸上にはないとき、焦点Fの座標を実数cを用いて

F(±c, 0)

とおく。また、直線PF, PF'が点Pにおける楕円の接線lとなす角をそれぞれ

θ, θ'

とおく。ただし、θ, θ'、ともに鋭角とする。

また、直線L, PF, PF'の傾きをそれぞれm, n, n'とおく。すると

$m=-\frac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}},\ n=\frac{y_{0}}{x_{0}-c},\ n'=\frac{y_{0}}{x_{0}+c}$

となる。ここで、θ, θ'はともに鋭角ということに注意すると、

$\tan\theta=\left|\frac{n-m}{1+nm}\right|,\ \tan\theta'=\left|\frac{n'-m}{1+n'm}\right|$

これを計算すると、

$\tan\theta=\left|\frac{\frac{y_{0}}{x_{0}-c}+\frac{b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}}{1-\frac{b^{2}x_{0}y_{0}}{a^{2}y_{0}(x_{0}-c)}}\right|$

$=\left|\frac{a^{2}y_{0}^{2}+b^{2}x_{0}(x_{0}-c)}{a^{2}y_{0}(x_{0}-c)-b^{2}x_{0}y_{0}}\right|$

$=\left|\frac{a^{2}y_{0}^{2}+b^{2}x_{0}^{2}-b^{2}cx_{0}}{a^{2}x_{0}y_{0}-a^{2}cy_{0}-b^{2}x_{0}y_{0}}\right|$

$=\left|\frac{a^{2}b^{2}-b^{2}cx_{0}}{(a^{2}-b^{2})x_{0}y_{0}-a^{2}cy_{0}}\right|$

$=\left|\frac{b^{2}(a^{2}-cx_{0})}{cy_{0}(cx_{0}-a^{2})}\right|$

$=\frac{b^{2}}{cy_{0}$

同様に、

$\tan\theta=\frac{b^{2}}{cy_{0}}$

よって

$\theta=\theta'$

となる。

(証明終)

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