数学学習の記録 244 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第12章(放物線・楕円・双曲線-2次曲線)の12.2(2次曲線と直線)、楕円・双曲線と直線の問20

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第12章(放物線・楕円・双曲線-2次曲線)の12.2(2次曲線と直線)、楕円・双曲線と直線の問20を解いてみる。

概形はiPadのneu.Notesにより描いてます。

問20

接線の接点の座標をそれぞれ

$Q_{1}(x_{1},\ y_{1}),\ Q_{2}(x_{2},\ y_{2})$

とおくと、それぞれの接線の方程式は

$\frac{x_{1}x}{a^{2}}+\frac{y_{1}y}{b^{2}}=1,\ \frac{x_{2}x}{a^{2}}+\frac{y_{2}y}{b^{2}}=1$

となる。また、この2つの接線は点

$P(x_{0},\ y_{0})$

を通るので、

$\frac{x_{1}x_{0}}{a^{2}}+\frac{y_{1}y_{0}}{b^{2}}=1,\ \frac{x_{2}x_{0}}{a^{2}}+\frac{y_{2}y_{0}}{b^{2}}=1$

これは、直線

$\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}=1$

が点

$Q_{1}(x_{1},\ y_{1}),\ Q_{2}(x_{2},\ y_{2})$

をとおることを意味するので、Pから楕円に引いた2本の接線の接点を結ぶ直線lの方程式は

$\frac{x_{0}x}{a^{2}}+\frac{y_{0}y}{b^{2}}=1$

で与えられる。

(証明終)

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