数学学習の記録 243.2 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第12章(放物線・楕円・双曲線-2次曲線)の12.2(2次曲線と直線)、楕円・双曲線と直線の問19

2010年7月21日水曜日

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第12章(放物線・楕円・双曲線-2次曲線)の12.2(2次曲線と直線)、楕円・双曲線と直線の問19を解いてみる。

概形はiPadのneu.Notesにより描いてます。

問19

4x+y=k

おくと

y=-4x+k

kの値はy軸との交点となる。よって最大値、最小値はそれぞれ楕円

$2x^{2}+y^{2}=9$

と上記の直線が接するときに値をとる。よって楕円の方程式に直線の方程式を代入して、その判別式を考え、重解を持つ場合のkの値を求めれば良い。

$2x^{2}+(-4x+k)^{2}=9$

$18x^{2}-8kx+k^{2}-9=0$

判別式を考える。

$(4k)^{2}-18(k^{2}-9)=0$

$k^{2}=9$

$k=\pm9$

よって最大値、最小値はそれぞれ9, -9。

また、最大値をとる点は

$\left(\frac{36}{18}, \ -4\cdot\frac{36}{18}+9\right)=(2,\ 1)$

最小値を取る点は、

$(-2,\ -4(-2)-9)=(-2,\ -1)$