数学学習の記録 242.1 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第12章(放物線・楕円・双曲線-2次曲線)の12.2(2次曲線と直線)、楕円・双曲線と直線の問16 | Kamimura's blog

2010年7月20日火曜日

数学学習の記録 242.1 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第12章(放物線・楕円・双曲線-2次曲線)の12.2(2次曲線と直線)、楕円・双曲線と直線の問16

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第12章(放物線・楕円・双曲線-2次曲線)の12.2(2次曲線と直線)、楕円・双曲線と直線の問16を解いてみる。

概形はiPadのneu.Notesにより描いてます。

問16

(1)

直線の方程式を楕円の方程式に代入する。

$x^{2}+2(-x+k)^{2}=4$

$3x^{2}-4kx+2k^{2}-4=0$

この判別式を考える。

$4k^{2}-6k^{2}+12$

$=-2(k^{2}-6)$

よって求める楕円と直線との共有点の個数は

$|k|<\sqrt{6}$

のとき2個

$|k|=\sqrt{6}$

のとき1個

$|k|>\sqrt{6}$

のとき0個

(2)

mx+2を問題の楕円の等式のyに代入すると、

$x^{2}+2(mx+2)^{2}=4$

$(2m^{2}+1)x^{2}+8mx+4=0$

この判別式を考える。

$16m^{2}-(2m^{2}+1)4$

$=4(2m^{2}-1)$

よって求める問題の楕円と直線の共有点の個数は

$|m|<\frac{1}{\sqrt{2}}$

のとき0個

$|m|=\frac{\sqrt{6}}{2}$

のとき1個

$|m|>\frac{1}{\sqrt{2}}$

のとき2個

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