数学学習の記録 238.1 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第12章(放物線・楕円・双曲線-2次曲線)の12.1(放物線・楕円・双曲線)、楕円の問6

2010年7月16日金曜日

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第12章(放物線・楕円・双曲線-2次曲線)の12.1(放物線・楕円・双曲線)、楕円の問6を解いてみる。

問6

点P, Q, Rの座標をそれぞれ

P(u, 0), (0, v), (x, y)

とおくと、問題より点Rは線分PQを1:2に内分するので

$x=\frac{2}{3}u,\ y=\frac{1}{3}v$

また線分PQの長さは6なので、

$u^{2}+v^{2}=6^{2}$

この等式に上記を代入すると、

$\left(\frac{3}{2}x\right)^{2}+(3y)^{2}=36$

$\frac{9}{4}x^{2}+9y^{2}=36$

$\frac{x^{2}}{4^{2}}+\frac{y^{2}}{2^{2}}=1$

よって求める点Rが描く軌跡は、上記の方程式の楕円となる。