数学学習の記録 238 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第12章(放物線・楕円・双曲線-2次曲線)の12.1(放物線・楕円・双曲線)、楕円の問5 | Kamimura's blog

2010年7月16日金曜日

数学学習の記録 238 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第12章(放物線・楕円・双曲線-2次曲線)の12.1(放物線・楕円・双曲線)、楕円の問5

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第12章(放物線・楕円・双曲線-2次曲線)の12.1(放物線・楕円・双曲線)、楕円の問5を解いてみる。

問5

(1)

$x^{2}+\frac{y^{2}}{2}=1$

(2)

焦点は

$(\sqrt{3},\ 0),\ (-\sqrt{3},\ 0)$

頂点の2つは

(2, 0), (-2, 0)

求める楕円の方程式は

$\frac{x^{2}}{2^{2}}+\frac{y^{2}}{2^{2}-3}=1$

$\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$

(3)

求める楕円の方程式を

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

とおく。

焦点は

(2, 0), (-2, 0)

$a=\sqrt{2}b$

$b=\sqrt{a^{2}-2^{2}}$

$b^{2}=2b^{2}-4$

$b^{2}=4$

b=2

$a=2\sqrt{2}$

よって求める楕円の方程式は

$\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$

(4)

求める楕円の方程式を

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

とおく。点(1, -2)から2焦点

$(0,\ \pm\sqrt{3})$

までの距離の和は、

$\sqrt{1^{2}+(-2-\sqrt{3})^{2}}+\sqrt{1^{2}+(-2+\sqr{3})^{2}}$

$=\sqrt{8+4\sqrt{3}}+\sqrt{8-4\sqrt{3}}$

$=2\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)$

よって求める楕円の方程式は

$\frac{x^{2}}{\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^{2}-3}+\frac{y^{2}}{\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}\right)^{2}}=1$

$\frac{x^{2}}{4+2-3}+\frac{y^{2}}{4+2}=1$

$\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{6}=1$

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