数学学習の記録 237 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.3(直線・平面・球の方程式)、球あるいは球面の方程式の問46

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.3(直線・平面・球の方程式)、球あるいは球面の方程式の問46を解いてみる。

問46

(1)

平面αの法線ベクトルは

$\vec{n}=(2,\ -3,\ 6)$

また球面Sの中心の座標は(3, -1, 7)より点Dの座標はある実数tによって、

D(3+2t, -1-3t, 7+6t)

と表される。ここで点Dは平面α上の点なので、これを平面αの方程式に代入して、

6+4t+3+9t+42+36t-2=0

49t=-49

t=-1

よって求めるDの座標は

(1, 2, 1)

(2)

球面Sの半径は

$\sqrt{16}=4$

球面Sの中心と平面αとの距離は、

$\sqrt{(1-3)^{2}+(2+1)^{2}+(1-7)^{2}}=\sqrt{4+9+36}=7$

よって

球面Sの半径 < 球面と平面αとの距離

以上よりSとαは交わらない。(証明終)

(3)

点PがキュメンS上を動くとき、Pと平面αの距離の最小値は

7-4=3

求める点Pの座標は線分CDを

4:3

に内分する点なので、

$\left(\frac{9+4}{4+3},\ \frac{-3+8}{4+3},\ \frac{21+4}{4+3}\right)$

$=\left(\frac{13}{7},\ \frac{5}{7},\ \frac{25}{7}\right)$

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