数学学習の記録 236.1 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.3(直線・平面・球の方程式)、球あるいは球面の方程式の問43, 44, 45 | Kamimura's blog

2010年7月14日水曜日

数学学習の記録 236.1 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.3(直線・平面・球の方程式)、球あるいは球面の方程式の問43, 44, 45

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.3(直線・平面・球の方程式)、球あるいは球面の方程式の問43, 44, 45を解いてみる。

問43

(1)

3x-4y-5z=50

(2)

kをある実数とすれば法線ベクトル(1, 2, 2)である平面は

x+2y+2z+k=0

この平面と球の中心(0, 0, 0)との距離が

$\sqrt{50}$

になれば良いので、

$\frac{|k|}{\sqrt{3}}=5\sqrt{2}$

$\frac{|k|}{\sqrt{1^{2}+2^{2}+2^{2}}}=5\sqrt{2}$

$k=\pm 15\sqrt{2}$

よって求める接平面の方程式は

$x+2y+2z\pm15\sqrt{2}=0$

問44

$(-3+2t)^{2}+(2-t)^{2}+(-5+2t)^{2}=38$

$9t^{2}-36t=0$

t(t-4)=0

$t=0,\ 4$

よって求める交点の座標は

(-3, 2, -5), (5, -2, 3)

また、この交点を通って球面に接する平面の方程式はそれぞれ

-3x+2y-5z=38

5x-2y+3z=38

問45

(1)

平面

x+y+z=6

と原点との距離は

$\frac{|-6|}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$

また、球面Sと平面

x+y+z=6

の交わりの円の半径が6なので、求めるSの半径は

$\sqrt{(2\sqrt{3})^{2}+6^{2}}=\sqrt{12+36}=4\sqrt{3}$

(2)

平面

x+y+z=9

と原点(0, 0, 0)との距離は

$\frac{|-9|}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}$

これと球面の半径より、求める円の半径をrとおくと

$r^{2}+(3\sqrt{3})^{2}=(4\sqrt{3})^{2}$

$r^{2}=21$

$r=\sqrt{21}$

(3)

Sと平面

x+y+z=k

が接するときSの中心と平面との距離はSの半径と一致するので定数kの値は

$\frac{|-k|}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$

$k=\pm12$

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