数学学習の記録 236 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.3(直線・平面・球の方程式)、球あるいは球面の方程式の問42

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.3(直線・平面・球の方程式)、球あるいは球面の方程式の問42を解いてみる。

問42

問題の等式を変形すると、

$|\vec{p}-\vec{a}|^{2}=4|\vec{p}-\vec{b}|^{2}$

$(\vec{p}-\vec{a})\cdot(\vec{p}-\vec{a})=4(\vec{p}-\vec{b})\cdot(\vec{p}-\vec{b})$

$|\vec{p}|^{2}-2\vec{a}\cdot\vec{p}+|\vec{a}|^{2}=4|\vec{p}|^{2}-8\vec{b}\cdot\vec{p}+4|\vec{b}|^{2}$

$3|\vec{p}|^{2}-2\vec{p}\cdot(4\vec{b}-\vec{a})-|\vec{a}|^{2}+4|\vec{b}|^{2}=0$

$3|\vec{p}|^{2}-2\vec{p}\cdot3\vec{c}-|\vec{a}|^{2}+4|\vec{b}|^{2}=0$

$3(\vec{p}|^{2}-2\vec{p}\cdot\vec{c}+|\vec{c}|^{2})-3|\vec{c}|^{2}-|\vec{a}|^{2}+4|\vec{b}|^{2}=0$

$3|\vec{p}-\vec{c}|^{2}-3|\frac{4}{3}\vec{b}-\frac{1}{3}|^{2}-|\vec{a}|^{2}+4|\vec{b}|^{2}=0$

$3|\vec{p}-\vec{c}|^{2}-3|\frac{4}{3}\vec{b}-\frac{1}{3}\vec{a}|^{2}-|\vec{a}|^{2}+4|\vec{b}|^{2}=0$

$3|\vec{p}-\vec{c}|^{2}-(\frac{4}{3}|\vec{a}|^{2}-\frac{8}{3}\vec{a}\cdot\vec{b}+\frac{4}{3}|\vec{b}|^{2})=0$

$3|\vec{p}-\vec{c}|^{2}=\frac{4}{3}|\vec{b}-\vec{a}|^{2}$

$9|\vec{p}-\vec{c}|^{2}=(2|\vec{b}-\vec{a}|)^{2}$

$9|\vec{p}-\vec{c}|^{2}=9r^{2}$

$|\vec{p}-\vec{c}|=r$

よって問題の条件を満たす空間の点Pの軌跡は点Cを中心、rを半径とする球となる。

(証明終)

Kamimura's blog

2010年7月14日水曜日