数学学習の記録 235.2 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.3(直線・平面・球の方程式)、球あるいは球面の方程式の問41

2010年7月13日火曜日

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.3(直線・平面・球の方程式)、球あるいは球面の方程式の問41を解いてみる。

問41

点Pの座標を(x, y, z)とおくと、

$AP^{2}=(x+2)^{2}+y^{2}+z^{2}$

$BP^{2}=(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}$

また、問題より距離の比が

AP:BP=2:1

より、

$AP^{2}:BP^{2}=4\ :\ 1$

となるので、求める2点A, Bからの距離の比が2:1である点Pの奇跡の方程式は

$(x+2)^{2}+y^{2}+z^{2}=4((x-1)^{2}+y^{2}+z^{2})$

$3x^{2}+3y^{2}+3z^{2}-12x=0$

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-4x=0$

$(x-2)^{2}+y^{2}+z^{2}=2^{2}$

となり、その図形は

中心 (2, 0, 0) 半径 2

の球である。