数学学習の記録 235.1 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.3(直線・平面・球の方程式)、球あるいは球面の方程式の問39, 40 | Kamimura's blog

2010年7月13日火曜日

数学学習の記録 235.1 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.3(直線・平面・球の方程式)、球あるいは球面の方程式の問39, 40

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.3(直線・平面・球の方程式)、球あるいは球面の方程式の問39, 40を解いてみる。

問39

(1)

問題の不等式を変形すると、

$(x-2)^{2}+(y+3)^{2}+(z-1)^{2}=5^{2}$

よって問題の方程式が表す図形は

中心(2, -3, 1), 半径 5

の球。

(2)

問題の不等式を変形すると

$(x+2)^{2}+(y+2)^{2}+(z-5)^{2}=7^{2}$

よって問題の方程式が表す図形は

中心 (-2, -2, 5), 半径 7

の球。

問40

(1)

$(x-3)^{2}+y^{2}+(z+2)^{2}=6^{2}$

(2)

中心が(-4, 3, 5)でyz平面に接する球なので半径は4となるので求める球の方程式は、

$(x+4)^{2}+(y-3)^{2}+(z-5)^{2}=4^{2}$

(3)

(2, 0, 0), (0, -4, -6)を結ぶ線分の長さの二乗と中点はそれぞれ、

$\sqrt{2^{2}+4^{2}+6^{2}}=2\sqrt{14}$

(1, -2, -3)

よって求める方程式は、

$(x-1)^{2}+(y+2)^{2}+(z+3)^{2}=14$

(4)

問題の球の半径をrとおくと、xy平面、yz平面、zx平面に接っしさらに点(1, 4 , 5)を通るので円の中心は

(r, r, r)

となるのでその方程式は

$(x-r)^{2}+(y-r)^{2}+(z-r)^{2}=r^{2}$

となり、これに(1, 4, 5)を代入すると

$(1-r)^{2}+(4-r)^{2}+(5-r)^{2}=r^{2}$

$2r^{2}-20r+42=0$

$r^{2}-10r+21=0$

(r-7)(r-3)=0

$r=7,\ 3$

よって求める問題の球の方程式は

$(x-3)^{2}+(y-3)^{2}+(z-3)^{2}=9$

$(x-7)^{2}+(y-7)^{2}+(z-7)^{2}=49$

(5)

求める球の方程式を

$x^{2}+y^{2}+z^{2}+Ax+By+Cz+D=0$

とおき、通る4点(1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3), (1, 2, 3)を代入すると

A=-1

2B=-4

B=-2

3C=-9

C=-3

1+4+9-1-4-9+D=0

D=0

よって求める球の方程式は

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-x-2y-3z=0$

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