数学学習の記録 235 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.3(直線・平面・球の方程式)、点と平面の距離の問38

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.3(直線・平面・球の方程式)、点と平面の距離の問38を解いてみる。

問38

求める平面α、βの法線ベクトルを

$\vec{n}=(a,\ b,\ c)$

とおく。この用船ベクトルは直線l, mの方向ベクトルに垂直なので、

2a+3b+c=0

2a+b-c=0

これを解くと、

4a+4b=0

b=-a

c=a

a:b:c=1:-1:1

よって求める平面α、βの法線ベクトルの1つは(1, -1, 1)となるので、

$\vec{n}=(1,\ -1,\ 1)$

とおく。求める平面α、βの方程式をそれぞれ

x-y+z+d=0

x-y+z+e=0

とおくと、直線lは点(3, 3, 0)を通るのでこれを平面αの方程式に代入して、

3-3+0+d=0

d=0

直線mは点(1, -3, 2)を通るのでこれを平面βの方程式に代入して、

1+3+2+e=0

e=-6

よって求める平面α、βの方程式はそれぞれ

x-y+z=0

x-y+z-6=0

(2)

(1)より求める直線l上を動く点Pと直線m上を動く点Qの距離PQの最小値は、平面αが原点(0, 0, 0)を含むことから、原点(0, 0, 0)と平面βの距離に等しい。よって

$\frac{|-6|}{\sqrt{1+1+1}}=2\sqrt{3}$

Kamimura's blog