数学学習の記録 234.2 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.3(直線・平面・球の方程式)、点と平面の距離の問37

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.3(直線・平面・球の方程式)、点と平面の距離の問37を解いてみる。

問37

(1)

平面ABCの方程式を

ax+by+cz+d=0

とおくと、

3a+d=0

3b+d=0

3c+d=0

a:b:c:d=1:1:1:-3

よって平面ABCの方程式は

x+y+z-3=0

この平面と点Dとの距離が求める垂線の長さなので、

$\frac{|4+4+4-3|}{\sqrt{1+1+1}}=3\sqrt{3}$

(2)

ベクトル

$\vec{AB}=(-3,\ 3,\ 0),\ \vec{AC}=(0,\ -3,\ 3)$

とおき、この2つのベクトルがなす角をθとおくと、

$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=|\vec{AB}|\ |\vec{AC}|\cos\theta$

$\cos\theta=\frac{\vec{AB}\cdot\vec{AC}}{|\vec{AB}|\ |\vec{AC}|}$

ここで、三角形ABCの面積をSとおくと、

$S^{2}=\frac{1}{4}|\vec{AB}|^{2}\ |\vec{AC}|^{2}\sin^{2}\theta$

$=\frac{1}{4}|\vec{AB}|^{2}|\vec{AC}|^{2}(1-\cos^{2}\theta)$

$=\frac{1}{4}|\vec{AB}|^{2}|\vec{AC}|^{2}\frac{|\vec{AB}|^{2}|\vec{AC}|^{2}-(\vec{AB}\cdot\vec{AC})^{2}}{|\vec{AB}|^{2}|\vec{AC}|^{2}$

$=\frac{1}{4}(|\vec{AB}|^{2}|\vec{AC}|^{2}-(\vec{AB}\cdot\vec{AC})^{2})$

$=\frac{(3\sqrt{2})^{2}(3\sqrt{2})^{2}-(-9)^{2}}{4}=\frac{243}{4}$

$S=\frac{9\sqrt{3}}{2}$

よって求める四面体ABCDの体積は

$\frac{9\sqrt{3}}{2}\times3\sqrt{3}\times \frac{1}{3}=\frac{27}{2}$

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