数学学習の記録 234.1 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.3(直線・平面・球の方程式)、点と平面の距離の問36 | Kamimura's blog

2010年7月12日月曜日

数学学習の記録 234.1 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.3(直線・平面・球の方程式)、点と平面の距離の問36

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.3(直線・平面・球の方程式)、点と平面の距離の問36を解いてみる。

問36

(1)

点Qの座標を

$Q(x_{0},\ y_{0},\ z_{0})$

とおくと点Qは問題の平面上の点なので

$6x_{0}-y_{0}-z_{0}-4=0$

また、問題の平面の法線ベクトルは

$\vec{n}=(6,\ -1,\ -1)$

となり、ベクトル

$\vec{PQ}$

は法線ベクトルに並行なので、実数sが存在して

$\vec{PQ}=s\vec{n}$

$(x_{0}-10,\ y_{0}+5,\ z_{0}-4)=(6s,\ -s,\ -s)$

よって

$x_{0}=10+6s,\ y_{0}=-5-s,\ z_{0}=4-s$

となるので、これを最初の方程式に代入して

60+36s+5+s-4+s-4=0

38s=-57

$s=-\frac{3}{2}$

よって求める点Qの座標は、

$Q(1,\ -\frac{7}{2},\ \frac{11}{2})$

となる。

(2)

$PQ=\sqrt{(10-1)^{2}+(-5-(-\frac{7}{2}))^{2}+(4-\frac{11}{2})^{2}}$

$=\sqrt{81+\frac{9}{4}+\frac{9}{4}}$

$=\frac{3}{2}\sqrt{38}$

(3)

求める平面αに関して点Pと対象な点Rの座標を

$R(x_{0},\ y_{0},\ z_{0})$

とおくと、ベクトル

$\vec{PR}$

と平面αの法線ベクトルは平行なのである実数tが存在して、

$\vec{PR}=t\vec{n}$

$(x_{0}-10,\ y_{0}+5,\ z_{0}-4)=t(6,\ -1,\ -1)$

$x_{0}=10+6t,\ y_{0}=-5-t,\ z_{0}=4-t$

また、線分PRの中点

$(\frac{x_{0}+10}{2},\ \frac{y_{0}-5}{2},\ \frac{z_{0}+4}{2})$

$=(10+3t,\ -5-\frac{1}{2}t,\ 4-\frac{1}{2}t)$

は平面α上にあるので、これを平面αの方程式に代入すると、

$60+18t+5+\frac{1}{2}t-4+\frac{1}{2}t-4=0$

19t=-57

t=-3

よって求める平面αに関しててんPと対象な点Rの座標は

$R(-8,\ -2,\ 7)$

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