数学学習の記録 234 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.3(直線・平面・球の方程式)、平面の方程式の問33, 34

2010年7月12日月曜日

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.3(直線・平面・球の方程式)、平面の方程式の問33, 34を解いてみる。

問33

2点(1, 2, -3), (-1, -2, 1)から等距離にある点をP(x, y, z)とおくと、

$(x-1)^{2}+(y-2)^{2}+(z+3)^{2}=(x+1)^{2}+(y+2)^{2}+(z-1)^{2}$

よって求める軌跡は直線で、その方程式は

となる。

問34

3点(1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3)から等距離にある点を(x, y, z)とおくと、

$(x-1)^{2}+y^{2}+z^{2}=x^{2}+(y-2)^{2}+z^{2}=x^{2}+y^{2}+(z-3)^{2}$

この方程式を解くと、

$y=\frac{2(3z-4)+3}{4}=-\frac{5}{4}+\frac{3}{2}z$

となるので、tを実数とし、z=tとおけば、求める図形は直線となり、その方程式は

$y=-\frac{5}{4}+\frac{3}{2}t$

となる。