数学学習の記録 233.1 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.3(直線・平面・球の方程式)、平面の方程式の問31, 32

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.3(直線・平面・球の方程式)、平面の方程式の問31, 32を解いてみる。

問31

2直線

2x-y+z=3, x+2y-4z=0

の法線ベクトルはそれぞれ、

$\vec{n_{1}}=(2,\ -1,\ 1),\ \vec{n_{2}}=(1,\ 2,\ -4)$

となる。求める余弦はこの2つのベクトルのなす角の余弦に等しいので、

$\cos\theta=\frac{\vec{n_{1}}\cdot\vec{n_{2}}}{|\vec{n_{1}}|\ |\vec{n_{2}}|}$

$=\frac{2-2-4}{\sqrt{6}\sqrt{21}$

$=\frac{-4}{3\sqrt{14}}$

$=-\frac{2\sqrt{14}}{21}$

ここで問題より求める2平面のなす角は鋭角でもとめ求めなければならないので正負の記号をいれかえて、求める余弦は

$\frac{2\sqrt{14}}{21}$

となる。

問32

2x-y+z=3

x+2y-4z=0

という連立方程式を解くと、

-5y+9z=3

y=(9z-3)/5

5x-2z=6

x=(2z+6)/5

よって、tを実数の媒介変数

z=t

とすれば、求める2平面の交線の媒介変数表示による方程式は

x=(2t+6)/5

y=(9t-3)/5

z=t

となる。

また、この直線の方向ベクトルは、

(2, 9, 5)

となる。

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