数学学習の記録 233 "平面上のベクトル 複素数と複素平面 空間図形 2次曲線 数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.3(直線・平面・球の方程式)、平面の方程式の問29, 30

"平面上のベクトル 複素数と複素平面 空間図形 2次曲線 数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.3(直線・平面・球の方程式)、平面の方程式の問29, 30を解いてみる。



問29

求める平面の方程式を

lx+my+nz+k=0

とおくと、

la+k=0

mb+k=0

nc+k=0

l=-k/a

m=-k/b

n=-k/c

よって

-kx/a-ky/b-kz/c+k=0

x/a+y/b+z/c=1

問30

(1)

2点(1, 2, 3), (3, 1, -5)を通る直線の方程式は

(x-1)/2 = -y+2 = (z-3) / (-8)

この直線とxy平面との交点では、z=0となるので

(x-1) / 2= -y+2 = -3/-8

x=7/4, y=13/8

よって求める直線と平面の交点の座標は(7/4, 13/8, 0)

(2)

(1)と同様にして求める。(ただし(2)ではy=0)

(x-1)/2 = 2 = (z-3)/(-8)

x=5, z=-13

よって求める直線と交点の平面の交点の座標は(5, 0, -13)

(3)

点(-1, 2, 3)を通り、方向ベクトルが(4, 0, 7)である直線の方程式は

(x+1)/4=(z-3)/7, y=2

よってこの直線と平面

x-4y+4z=19

の交点は

x-8+4z=19

7(x+1)=4(z-3)

という連立方程式を解けば求まるので、これを解くと

x+4z=27

7x-4z=-19

8x=8

x=1, z=13/2

よって求める座標は(1, 2, 13/2)

(4)

問題の直線は点(1, -1, -2)を通り、方向ベクトル(1, 4, -1)の直線なので、媒介変数tを用いて表すと

x=1+t, y=-1+4t, z=-2-t

これを平面の方程式に代入すると、

2(1+t)+2(-1+4t)+(-2-t)=7

9t=9

t=1

よって求める直線と平面の交点の座標は(2, 3, -3)