問28
(1)
2(x+3)+4(y-1)-5(z-2)=0
2x+4y-5z+12=0
(2)
x=5
(3)
y=3
(4)
2(x-5)-3(y-3)+(z+1)=0
2x-3y+z=0
(5)
求める平面の法線ベクトルを(a, b, c)とおくと、
a-b+c=0
2a+3b-c=0
3a+2b=0
a:b:c=2:-3:-5
よって求める平面の方程式は
2(x-2)-3(y+1)-5(z+3)=0
2x-3y-5z-22=0
(6)
求める平面の方程式を
ax+by+cz+d=0
とおくと、この平面は問題より原点(0, 0, 0), (1, 0, -1), (0, 2, 3)の3点を通るので、
d=0
a-c+d=0
2b+3c+d=0
という連立方程式が成り立つ。これを解くと、
a-c=0
c=a
2b+3c=0
b=-3c/2
a:b:c:d=2:-3:2:0
よって求める平面の方程式は
2x-3y+2z=0
(7)
求める平面の方程式を
ax+by+cz+d=0
とおくと、この平面は3点(3, 4, -1), (1, 4, 5), (3, 0, 5)を通るので、
3a+4b-c+d=0
a+4b+5c+d=0
3a+5c+d=0
という連立方程式が成り立つ。これを解くと、
2a-6c=0
a=3c
14c+d=0
d=-14c
3c+4b+5c-14c=0
4b=6c
b=3c/2
a:b:c:d=6:3:2:-28
よって求める平面の方程式は
6x+3y+2z-28=0
(8)
問題の直線は(1, -2, -1), (0, -4, -4)の2点を通るので、この2点と原点(0, 0, 0)を通る平面が求める平面となる。その方程式を
ax+by+cz+d=0
とおくと、
a-2b-c+d=0
-4b-4c+d=0
d=0
という連立方程式が成り立つので、これを解くと、
c=-b
a-2b+b=0
b=a
a:b:c:d=1:1-1:0
よって求める平面の方程式は
x+y-z=0
(9)
(8)の原点(0, 0, 0)を(1, -1, 2)に変えて、
a-2b-c+d=0
-4b-4c+d=0
a-b+2c+d=0
b+3c=0
b=-3c
d=-8c
a=-6c+c+8c=3c
a:b:c:d=3:-3:1:-8
よって求める平面の方程式は
3x-3y+z-8=0
(10)
求める平面の法線ベクトルを(a, b, c)とおくと、問題の2直線と垂直なので、
(a, b, c)・(2, 5, 3)=0
(a, b, c)・(3, 6, 4)=0
2a+5b+3c=0
3a+6b+4c=0
また、求める平面は点(1, 3, -2)を通るので、
a+3b-2c+d=0
上記の3つの方程式からなる連立方程式を解くと、
-b+7c-2d=0
-3b+10c-3d=0
11c-3d=0
d=11c/3
b=7c-22c/3=-c/3
a=-3b+2c-d=c+2c-11c/3=-2c/3
a:b:c:d=2:1:-3:-11
よって求める平面の方程式は
2x+y-3z-11=0
(11)
求める平面の方程式を
ax+by+cz+d=0
とおくと、この平面は2点(0, 2, -4), (1, 0, 0)を通るので、
2b-4c+d=0
a+d=0
また、平面の法線ベクトル(a, b, c)はベクトル(2, 3, 1)に垂直なので
(a, b, c)・(2, 3, 1)=0
2a+3b+c=0
上記の3つの方程式からなる連立方程式をとくと
d=-a
2b-4c-a=0
2a+3b+c=0
7a+14b=0
b=-a/2
c=-2a-3b=-2a+3a/2=-a/2
a:b:c:d=2:-1:-1:-2
よって求める平面の方程式は
2x-y-z-2=0
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