数学学習の記録 232 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.3(直線・平面・球の方程式)、2直線の交点、2直線に直交する直線の問27

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.3(直線・平面・球の方程式)、2直線の交点、2直線に直交する直線の問27を解いてみる。

問27

点A, B, P, Qの位置ベクトルをそれぞれ

$A(\vec{a}),\ B(\vec{b}),\ P(\vec{p}),\ Q(\vec{q})$

とおき、また直線l, mの方向ベクトルを

$\vec{d},\ \vec{e}$

とする。そのとき、点P, Qの位置ベクトルはある実数s, tによって

$\vec{p}=\vec{a}+s\vec{d},\ \vec{q}=\vec{b}+t\vec{e}$

と表され、

$\vec{q}-\vec{p}=(\vec{b}-\vec{a})+(t\vec{e}-s\vec{d})$

となる。ここで、直線ABは直線lにもmにも直交しているので2つのベクトルは

$(\vec{b}-\vec{a})\bot\(t\vec{e}-s\vec{d})$

となる。ここで、三平方の定理(ピタゴラスの定理)より、

$|\vec{q}-\vec{p}|^{2}=|\vec{b}-\vec{a}|^{2}+|t\vec{e}-s\vec{d}|^{2}\geq|\vec{b}-\vec{a}|^{2}$

よって

$|\vec{q}-\vec{p}|\geq|\vec{b}-\vec{a}|$

$AB\leq PQ$

(証明終)

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