数学学習の記録 231.1 "平面上のベクトル 複素数と複素平面 空間図形 2次曲線 数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.3(直線・平面・球の方程式)、2直線の交点、2直線に直交する直線の問26

"平面上のベクトル 複素数と複素平面 空間図形 2次曲線 数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.3(直線・平面・球の方程式)、2直線の交点、2直線に直交する直線の問26を解いてみる。



問26

(1)

媒介変数s, tを用いると、点A, Bの座標はそれぞれ、

A(4+3s, 3+2s, s), B(t-6, 7-t, t)

と表すことが出来る。すると、ベクトル

(t-3s-10, -t-2s+4, t-s)

が直線l,mの方向ベクトル

(3, 2, 1), (1, -1, 1)

と垂直になるようにs, tの値を定めれば良いので、その内積がともに0になればよいので、

(t-3s-10, -t-2s+4, t-s)・(3, 2, 1)=0

(t-3s-10, -t-2s+4, t-s)・(1, -1, 1)=0

2t-14s-22=0

3t-2s-14=0

6t-42s-66=0

6t-4s-28=0

-38s-38=0

s=-1, t=4

よって

A(1, 1, -1), B(-2, 3, 4)

となるので求める直線ABの方程式は

(x-1)/(-3)=(y-1)/2=(z+1)/5

(2)

媒介変数s, tを用いると、点A, Bの座標はそれぞれ、

A(2s+1, 3s-1, s+9), B(t+2, 4t+2, 14-2t)

と表すことが出来る。すると、ベクトル

(t-2s+1, 4t-3s+3, -2t-s+5)

が直線l,mの方向ベクトル

(2, 3, 1), (1, 4, -2)

と垂直になるようにs, tの値を定めれば良いので、その内積がともに0になればよいので、

(t-2s+1, 4t-3s+3, -2t-s+5)・(2, 3, 1)=0

(t-2s+1, 4t-3s+3, -2t-s+5)・(1, 4, -2)=0

12t-14s+16=0

21t-12s+3=0

6t-7s+8=0

7t-4s+1=0

24t-28t+32=0

49t-28t+7=0

25t-25=0

t=1, s=2

よって

A(5, 5, 11), B(3, 6, 12)

となるので求める直線ABの方程式は

(x-5)/(-2)=y-5=-z-11