数学学習の記録 230.2 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.3(直線・平面・球の方程式)、直線の方程式の問22, 23, 24

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.3(直線・平面・球の方程式)、直線の方程式の問22, 23, 24を解いてみる。

問22

(1)

$\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z-3}{3}$

(2)

$\frac{x+2}{6}=\frac{y}{5}=-z+3$

(3)

$\frac{x-3}{2}=-z+4,\ y=-2$

(4)

$x=2,\ z=-4$

(5)

$\frac{x-x_{0}}{-x_{0}}=\frac{y-y_{0}}{-y_{0}}=\frac{z-z_{0}}{-z_{0}}$

$\frac{x-x_{0}}{x_{0}}=\frac{y-y_{0}}{y_{0}}=\frac{z-z_{0}}{z_{0}}$

問23

(1)

求める直線の方向ベクトルを

$\vec{d}=(a,\ b,\ c)$

とおく。すると問題の2つのベクトルと垂直なので

(a, b, c)・(2, 4, 3)=0

2a+4b+3c=0

(a, b, c)・(1, -1, 6)=0

a-b+6c=0

が成り立たなければならない。b, cをaで表すと

6a+27c=0

c=-2a/9

b=a-4a/3=-a/3

ゆえに

a:b:c=9:-3:-2

よって求める直線の方程式は、点(-2, 3, 4)を通り、方向ベクトル(9, -3, -2)の直線の方程式なので

$\frac{x+2}{9}=\frac{y-3}{-3}=\frac{z-4}{-2}$

(2)

求める直線の方向ベクトルを

$\vec{d}=(a,\ b,\ c)$

とおくと、問題の2つのベクトルと垂直なので

(a, b, c)・(1, 1, -1)=0

(a, b, c)・(-2, -1, 3)=0

a+b-c=0

-2a-b+3c=0

が成り立たなければならない。a, bをcで表すと、

-a+2c=0

a=2c

b=-a+c=-c

よって

a:b:c=2:-1:1

よって求める直線の方程式は、点(-2, 3, 4)を通り、方向ベクトル(2, -1, 1)の直線の方程式なので

$\frac{x+1}{2}=-y+3=z-4$

問24

(p1, p2, p3)(p2q3-p3q2, p3q1-p1q3, p1q2-p2q1)=0

(q1, q2, q3)(p2q3-p3q2, p3q1-p1q3, p1q2-p2q1)=0

(証明終)

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2010年7月8日木曜日