数学学習の記録 229.1 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.2(空間のベクトル)、ベクトルの内積の問16, 17

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.2(空間のベクトル)、ベクトルの内積の問16, 17を解いてみる。

問16

問題の正四面体ABCDの1辺の長さを1としても問題ない。

また、点Aを基準とし点B, C, Dの位置ベクトルを

$\vec{AB}=\vec{b},\ \vec{AC}=\vec{c},\ \vec{AD}=\vec{d}$

とおく。

このとき、

$\vec{AB}\cdot\vec{CD}=\vec{b}\cdot(\vec{d}-\vec{c})$

$=\vec{b}\cdot\vec{d}-\vec{b}\cdot\vec{c}$

$=cos\frac{\pi}{3}-cos\frac{\pi}{3}$

よって、正四面体ABCDにおいて辺ABとCDは垂直である。

問17

$\frac{a_{1}}{|\vec{a}|}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{e_{1}}}{|\vec{a}|}=\frac{|\vec{a|}cos\alpha}{|\vec{a}|}=cos\alpha$

$\frac{a_{2}}{|\vec{a}|}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{e_{2}}}{|\vec{a}|}=\frac{|\vec{a|}cos\beta}{|\vec{a}|}=cos\beta$

$\frac{a_{3}}{|\vec{a}|}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{e_{3}}}{|\vec{a}|}=\frac{|\vec{a|}cos\gamma}{|\vec{a}|}=cos\gamma$

よって

$\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=\left(\frac{a_{1}}{|\vec{a}|},\ \frac{a_{2}}{|\vec{a}|},\ \frac{a_{3}}{|\vec{a}|}\right)=(cos\alpha,\ cos\beta,\ cos\gamma)$

が成り立つ。

(証明終)

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2010年7月7日水曜日