数学学習の記録 229 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.2(空間のベクトル)、ベクトルの内積の問15

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.2(空間のベクトル)、ベクトルの内積の問15を解いてみる。

問15

2つのベクトル

$\vec{OA}=\vec{a},\ \vec{OB}=\vec{b}$

がなす角をθとおくと、求める平行四辺形OACBの面積Sの二乗は

$S^{2}=(|\vec{a}|\ |\vec{b}|sin\theta)^{2}$

$=|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2}(1-cos^{2}\theta)$

$=|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2}-|\vec{a}|^{2}\ |\vec{b}|^{2}cos^{2}\theta$

$=|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2}-(\vec{a}\cdot\vec{b})^{2}$

ここで、

$|\vec{a}|^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}$

$|\vec{b}|=b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}$

$(\vec{a}\cdot\vec{b})^{2}=(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})^{2}$

となるので、

$S^{2}=(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2})-\\(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3})^{2}$

$=a_{1}^{2}b_{2}^{2}+a_{1}^{2}b_{3}^{2}+a_{2}^{2}b_{1}^{2}+a_{2}^{2}b_{3}^{2}+a_{3}^{2}b_{1}^{2}+a_{3}^{2}b_{2}^{2}-\\2a_{1}b_{1}a_{2}b_{2}-2a_{1}b_{1}a_{3}b_{3}-2a_{2}b_{2}a_{3}b_{3}$

$=(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^{2}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})^{2}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})^{2}$

よって平方根をとって求める平行四辺形OACBの面積Sは

$S=\sqrt{(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})^{2}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})^{2}+(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})^{2}}$

(証明終)

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2010年7月7日水曜日