数学学習の記録 228.1 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.2(空間のベクトル)、ベクトルの内積の問13, 14

2010年7月6日火曜日

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.2(空間のベクトル)、ベクトルの内積の問13, 14を解いてみる。

問13

以下、求める角をθとおく。

(1)

$cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\ |\vec{b}|}$

$=\frac{1+2}{\sqrt{2}\cdot3}$

$=\frac{1}{\sqrt{2}}$

よって求める角は、π/4。

(2)

$cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\ |\vec{b}|}$

$=\frac{4+2-6}{\sqrt{14}\sqrt{21}$

よって求める角は、π/2。

問14

(1)

$\vec{AB}=(1, \ -2,\ 3)$

$\vec{AC}=(-3,\ 2,\ -1)$

よって、

$cos\theta=\frac{\vec{AB}\cdot\vec{AC}}{|\vec{AB}|\ \vec{AC}|$

$=\frac{-3-4-3}{\sqrt{14}\sqrt{14}}$

$=-\frac{5}{7}$

(2)

三角形ABCの面積は

$\frac{1}{2}|\vec{AB}|\ |\vec{AC}|sin\theta$

ここで

$sin\theta=\sqrt{1-cos^{2}\theta}=\frac{2\sqrt{6}}{7}$

より、

$\frac{1}{2}\cdot14\cdot\frac{2\sqrt{6}}{7}=2\sqrt{6}$