数学学習の記録 228 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.2(空間のベクトル)、ベクトルの内積の問12 | Kamimura's blog

2010年7月6日火曜日

数学学習の記録 228 "平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.2(空間のベクトル)、ベクトルの内積の問12

"平面上のベクトル複素数と複素平面空間図形 2次曲線数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.2(空間のベクトル)、ベクトルの内積の問12を解いてみる。

問12

(1)

$\vec{AB}\cdot\vec{AF}=\sqrt{2}cos 45^{\circ}=1$

(2)

$\vec{AF}\cdot\vec{BG}=(\vec{AB}+\vec{BF})\cdot(\vec{BC}+\vec{CG})$

$=\vec{BF}\cdot\vec{CG}=1$

(3)

$\vec{BG}\cdot\vec{DE}=0$

(4)

$\vec{DE}\cdot\vec{FC}=\sqrt{2}\sqrt{2}cos(-\pi )=-2$

(5)

$\vec{CE}\cdot\vec{CF}=(\vec{CG}+\vec{GF})\cdot\(\vec{CG}+\vec{GE})$

$=\sqrt{2}cos45^{\circ}+\sqrt{2}cos45^{\circ}=2$

(6)

$\vec{AD}\cdot\vec{BC}=1$

(7)

$\vec{EP}\cdot\vec{ED}=(\vec{EA}+\frac{1}{2}(\vec{AD}+\vec{DC}+\vec{CG}))\cdot\vec{ED}$

$=1+\frac{1}{2}(1+\vec{DC}\cdot(\vec{EA}+\vec{AD})-1)$

(8)

$\vec{CQ}\cdot\vec{ED}=\frac{1}{2}(\vec{CD}+\vec{DH})\cdot\vec{ED}$

$=\frac{1}{2}\vec{DG}\cdot\vec{ED}$

$=-\frac{1}{2}$

(9)

$\vec{AS}=\vec{CH}$

おなるように点Sをとると、

$AS=\sqrt{2},\ AG=\sqrt{3},\ GS=\sqrt{5}$

以上をふまえて、

$\vec{AP}\cdot\vec{CQ}=\frac{1}{2}(\vec{AS}+\vec{SG})\cdot\frac{1}{2}(\vec{CG}+\vec{GH})$

$=\frac{1}{4}(1+1+(2\vec{EF}+\vec{FG})\cdot\vec{GH})$

$=\frac{1}{4}(2-2)=0$

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