数学学習の記録 226.1 "平面上のベクトル 複素数と複素平面 空間図形 2次曲線 数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.1(空間における点・直線・平面, 空間の座標)、2点間の距離の問5, 6

"平面上のベクトル 複素数と複素平面 空間図形 2次曲線 数列 (数学読本)"の第11章(立体的な広がりの中の図形-空間図形)の11.1(空間における点・直線・平面, 空間の座標)、2点間の距離の問5, 6を解いてみる。



問5

(1)

sqrt{(0-3)^{2} + (3 - (-1))^{2} + (-1 - 4)^{2}}

= sqrt{9 + 16 + 25}

= 5sqrt{2}

(2)

sqrt{(4 - (-5))^{2} + (-1 - 1)^{2} + (-4 - 2)^{2}}

= sqrt{81 + 4 + 36}

= 11


問6

以下AB等は線分AB等の長さを表すこととする。

(1)

点Pの座標を(x, 0, 0)とおくと(点Pはx軸上にあるので、y, z座標は0となる)

点PがA, Bから等距離にあることから、

AP = BP

sqrt{(1 - x)^{2} + 1 + 1} = sqrt{(-1 - x)^{2} + (-2)^{2}}

(1 - x)^{2} + 2 = (1 + x)^{2} + 4

4x = -1

x= - 1/4

よって求める点Pの座標は (- 1/4, 0, 0)

(2)

点Qはy軸上にあることからその座標を(0, y, 0)とおくと、

点Qが点A, Bと等距離にあることから

AQ = BQ

sqrt{1 + (1-y)^{2} + 1} = sqrt{(-1)^{2} + (0 - y)^{2} + (-2)^{2}}

2 + (1-y)^{2} = 5 + y^{2}

-2y = 2

y = -1

よって求める点Qの座標は(0, -1, 0)

(3)

点Rはxy平面上にあるので、その座標を(x, y, 0)とおくと、

三角形ABRが正三角形になることから、

AB = BR = RA

AB = sqrt{(1 - (-1))^{2} + 1 + (1 - (-2))^{2}}

= sqrt{4 + 1 + 9}

= sqrt{14}

BR = sqrt{(x - (-1))^{2} + y^{2} + (-2)^{2}}

= sqrt{(x + 1)^{2} + y^{2} + 4}

RA = sqrt{(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} + 1}

AB^{2} = BR^{2}

BR^{2} = RA^{2}

より、

14 = x^{2} + y^{2} + 2x + 5

x^{2} + y^{2} + 2x + 5= x^{2} + y^{2} -2x - 2y + 3

この連立方程式をとくと、

-2y = 4x + 2

y = -2x - 1

14 = x^{2} + 4x^{2} + 4x + 1 + 2x + 5

5x^{2} + 6x - 8 = 0

(x + 2)(5x - 4) = 0

よって

x = -2, y = 3

または

x = 4/5, y = - 13/5

よって求める点Qの座標は

(-2, 3, 0) , (4/5, -13/5, 0)