問10
(cos θ + i sin θ)^{3}
=cos^{3}θ+3icos^{2}θsinθ-3cosθsin^{2}θ-i sin^{3}θ
また、ド・モアブルの公式より
(cos θ + i sin θ)^{3}=cos 3θ + i sin 3θ
=cos 3θ + i(sin 2θ cos θ + cos 2θ sin θ)
=cos 3θ + 2i sin θ cos^{2}θ + i cos^{2}θ sin θ - i sin^{3}θ
よって
cos 3θ = cos^{3}θ -3cos θ sin^{2}θ
(cos θ + i sin θ)^{4}
= cos^{4}θ + 4i cos^{3}θ sin θ - 6 cos^{2}θ sin^{2}θ - 4i cos θ sin^{3}θ + sin^{4}θ
また、ド・モアブルの公式より、
(cos θ + i sin θ)^{4}
= cos 4θ + i sin 4θ
= cos^{2}2θ - sin^{2}2θ + i sin 4θ
= (cos^{2}θ - sin^{2}θ)^{2} - 4 sin^{2}θ cos^{2}θ + i sin 4θ
= cos^{4}θ - 2 cos^{2}θ sin^{2}θ + sin^{4}θ- 4 sin^{2}θ cos^{2}θ + i sin 4θ
よって
sin 4θ = 4 cos^{3}θ sin θ - 4 cos θ sin^{3}θ
(cos θ + i sin θ)^{5}
= cos^{5}θ + 5i cos^{4}θ sin θ - 10 cos^{3}θ sin^{2}θ - 10i cos^{2} sin^{3}θ + 5 cos θ sin^{4}θ + i sin^{5}θ
また、ド・モアブルの公式より
(cos θ + i sin θ)^{5}
= cos 5θ + i sin 5θ
= cos 5θ + i(sin 2θ cos 3θ + cos 2θ sin 3θ)
= cos 5θ + i(2 sin θ cos θ (cos θ cos 2θ - sin θ sin 2θ) + cos 2θ 2sinθ cos θ)
= cos 5θ + 5i cos^{4}θ sin θ - 10i cos^{2}θ sin^{3}θ + i sin^{5}θ
よって
cos 5θ = cos^{5}θ - 10 cos^{3}θ sin^[2}θ + 5 cos θ sin^{4}θ
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